Diferenciación e Integración

Diferenciación

Es una técnica de análisis numérico para calcular una aproximación  a la derivada de una función en un punto utilizando los valores y propiedades de la misma.

Se conoce también como derivación numérica.

Valores de entrada:

1) Valor de x con su respectiva imagen.

2) Valores adyacentes a x (necesarios para las formulas a aplicar, se calculan en relación al          valor de h o se brindan de antemano) junto a sus imágenes.

3)Valor de h, entre más pequeño es más exacto.

Salida:

Aproximación o valor verdadero de la  derivada a evaluar.

Las aproximaciones  que se pueden hacer para h > 0 son:

Hacia adelante:

Hacia atrás:

Centrada:

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Integración Numérica

La integración numérica se utiliza cuando f(x) es muy difícil o imposible de calcular de forma analítica.

Regla del Trapecio

El método del trapecio se usa para calcular aproximadamente el valor de una integral definida.

La regla se basa en aproximar la integral de f(x) por el de la función lineal que pasa por los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)) . La integral de esta es igual al área del trapecio bajo la gráfica de la función lineal.

A continuación se muestra una ilustración gráfica de la regla del trapecio:

Formula:

donde h se define de la siguiente forma (n es el número de intervalos):

Regla de Simpson

Simpson fue todavía más allá. En lugar de utilizar trapecios a partir de dos puntos mejoró la aproximación utilizando parábolas que pasen por tres puntos por los cuales pasa la función.

La regla de Simpson tiene varias versiones que veremos a continuación

Simpson 1/3: Se utiliza cuando la cantidad de x dadas es 3

Simpson 3/8: Se utiliza cuando la cantidad de x dadas es 4

Reglas Compuestas

Las reglas compuestas preteden descomponer los intervalos de una integral definida en varios subintervalos y aplicar la regla (trapecio o simpson) a cada uno de ellos y sumarlos.

Esto implica que los resultados sean más precisos, pero el coste operativo aumenta ya que se debe aplicar la formula no sólo a un intervalo, sino a todos los subintervalos obtenidos.

La forma de saber el tamaño de cada subintervalo es

donde n es el número de intervalos deseados.

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Reglas Compuestas

Interpolación

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Aitken & Steffensen

Alexander Aitken nació en Dunedin, Nueva Zelanda, en 1895.

Introdujo el concepto de aceleración de convergencia de una sucesión (método delta-2), también un método de interpolación lineal progresiva y  contribuyó al desarrollo de la teoría de determinantes.

En análisis numérico, el método o proceso de Aitken es un método de aceleración de la convergencia.

Formula Aitken:

El método de Johan Frederik Steffensen es un algoritmo para obtener los ceros de una función.

 Puede considerar como una combinación del método de punto fijo y del método de Aitken.

El método de Steffensen presenta una convergencia rápida y no requiere, como en el caso del método de Newton, la evaluación de derivada alguna.

Presenta además, la ventaja adicional de que el proceso de iteración sólo necesita un punto

inicial.

Formula Steffensen: 

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Aitken & Steffensen

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NEVILLE

Es un algoritmo utilizado para la interpolación polinómica que se derivó por el matemático Eric Harold Neville.

Se basa en la formula de Newton (Polinomio de interpolación) y la relación de recursión para las diferencias divididas, además es similar a Aitken.

A diferencia del método Lagrange, los polinomios generados a partir del método iterado de Neville son recurrentes, por ejemplo:

N= 4

P0,1,2 se constituye a partir de P0,1 y P1,2

P1,2,3 se constituye a partir de P1,2 y P2,3

P0,1,2,3 se constituye a partir de P0,1,2 y P1,2,3

A continuación se muestra un modelo de iteraciones del método Neville:

Formula:

P(m,n) =  ( (xn - x0) * (x1) - (xn - x1) * f(x0) ) / (x1 - x0)

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Neville

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Lagrange

Es un método que utiliza la optimización para trabajar con funciones de varias variables que nos interesa maximizar o minimizar.

Desventajas:

Si se aumenta el número de puntos a interpolar (Nodos) con la intención de mejorar la aproximación a la función; también lo hace el grado del polinomio interpolar, por lo que aumenta la dificultad del calculo.

Formulas:

Ln(x) = ( (x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-xk) ) / ( (xn-x1)(xn-x2)(xn-x3)(xn-xk) )

P(x) = Y0 * L0(x) + Y1 * L1(x) + Y2 * L2(x) + Ln * Ln(x)

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Lagrange

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Diferencias Divididas

Se trata de construir un polinomio de interpolación Pn de los datos (xk, yk) con K = 0, ..., n de una muestra sin tener que recurrir a resolver un sistema.
Lo escribiremos de la siguiente forma:

Pn(x) = Y0 + Y01(x-x0) + Y012(x-x0)(x-x1) + ..... + Y01..n(x-x0)(x-x1)(x-x2)(x-xn-1)

donde: 

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Diferencias Divididas

Ecuaciones No Lineales

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Bisección

Es un método que sirve para calcular raíces aproximadas de funciones que son difíciles de despejar.

PASO 1:

Verificar que f(a) * f(b) < 0

PASO 2:

Calcular el punto medio de la siguiente forma:  m =  (a+b) / 2

Paso 3: 

Se evalúa f(m)

              Si el resultado es igual a cero, m será la raíz buscada.

              Sino, verificamos que f(m) tenga signo opuesto a f(a) o f(b) y se redefine el intervalo                 [a,b] como [a,m] o [m,b].

Paso 4:

Se repiten los paso 2 y 3 con los nuevos valores de a y b.

VENTAJAS

Convergencia segura, es decir se aproxima tanto como se quiera al valor límite en este caso el error actual.

DESVENTAJAS

El método es lento, esto quiere decir que se necesita un número grande de iteraciones para lograr un error pequeño.

Cuando hay raíces múltiples este método no sería válido, ya que la función podría no cambiar de signo en puntos situados a cualquier lado de sus raíces.

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Bisección

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Newton - Rapson

El método de Newton fue descrito por Isaac Newton en 1669.

Newton aplicaba el método solo en polinomios, sin considerar aproximaciones sucesivas x(n)

Calculaba una secuencia de polinomios para llegar a la aproximación de la raíz x

El método es llamado Newton – Raphson por el matemático Joseph Raphson quien lo publico en 1690.

El método Newton-Rapson se puede representar gráficamente de la siguiente forma:

Donde se va calculando la imagen del punto Xn y la recta tangente que pasa por ese punto y se evalúa el punto donde corta el eje X, este será nuestro nuevo Xn.

CONSIDERACIONES:

1) F(a) * F(b) < 0

2)F'(x) y F''(x) deben ser no nulas y conservar el signo en todo el intervalo.

Formula:

p = p0 - [(p0) / f'(p0)]

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Newton - Rapson

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Secante y Cuerda

El método de la SECANTE pretende eliminar el problema de la derivada de la función, ya que existen funciones que describen fenómenos físicos en la vida real, cuya derivada es muy compleja.

El método secante no necesita un intervalo inicial en donde la función cumpla ciertas condiciones(como que haya un cero entre ese intervalo)

Este método se puede representar de forma gráfica de la siguiente forma:

El método de la secante utiliza la intersección de la recta que pasa por dos puntos iniciales (x0, x1) con el eje X, esta intersección será nuestra raíz estimada. Si la raíz calculada aún tiene mucho margen de error, se hace otra iteración con los valores (x1, raiz estimada).

Formula:

Pn = p1 - f(p1) * ((p1-p0) /  f(p1) - f(p0))

El método de la cuerda es también conocido como "REGULA FALSI" que significa posición falsa, esto debido a que los egipcios utilizaban un método de resolución de ecuaciones que iniciaban con una aproximación "errada" y luego iba mejorando la aproximación por proporcionalidad.

Este método es similar al de la secante, consiste en construir la recta que pasa por dos puntos de la función que se obtiene de la ecuación f(x) = , con la diferencia que el método de la cuerda construye la recta que pasa por los extremos de los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)), donde [a,b] es un intervalo en el cual la función f(x) tiene una raíz.

Formula:

Pn = (an * f(bn) - bn * f(an)) / (f(bn) - f(an))

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Secante

Cuerda

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Müller

Johann Müller Regiomontano fue un astrónomo y matemático alemán.

Su nombre real es Johann Müller Königsberg.

El apodo "Regiomontano" proviene de la traducción latina del nombre de la ciudad alemana donde nació: Königsberg (Montaña real o Montaña Regia).

Fue verdaderamente un niño prodigio. Dio muestras de un enorme talento desde muy temprana edad y una habilidad sorprendente para las matemáticas.

A la edad de once años se matriculó en la Universidad de Leipzig para estudiar dialéctica,  posteriormente ingresó en la Universidad de Viena.

Fue tan veloz en su aprendizaje que al acabar sus estudios en 1452, las normas de la Universidad le exigían alcanzar la edad de 21 para obtener el título de licenciado.

Por esta razón tuvo que esperar hasta alcanzar la edad requerida en 1457. (Esperó 5 años).

El método Müller consiste en obtener los coeficientes de la parábola que pasa por tres puntos.

Dichos coeficientes se sustituyen en la formula cuadrática para  tener el valor donde la parábola corta al eje x, es decir, la raíz estimada.

PASO 1:

Calcular los siguientes valores a partir de las entradas recibidas:

PASO 2:

Calcular los valores a, b y c, usando los valores que averiguamos con las formulas anteriores:

PASO 3:

Calcular el valor de la aproximación (x3):

PASO 4:

Calcular el error relativo porcentual:

Si el error aún es muy alto y necesitas realizar otra iteración lo nuevos valores serán de la siguiente forma:

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Müller

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