Interpolación

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Aitken & Steffensen

Alexander Aitken nació en Dunedin, Nueva Zelanda, en 1895.

Introdujo el concepto de aceleración de convergencia de una sucesión (método delta-2), también un método de interpolación lineal progresiva y  contribuyó al desarrollo de la teoría de determinantes.

En análisis numérico, el método o proceso de Aitken es un método de aceleración de la convergencia.

Formula Aitken:

El método de Johan Frederik Steffensen es un algoritmo para obtener los ceros de una función.

 Puede considerar como una combinación del método de punto fijo y del método de Aitken.

El método de Steffensen presenta una convergencia rápida y no requiere, como en el caso del método de Newton, la evaluación de derivada alguna.

Presenta además, la ventaja adicional de que el proceso de iteración sólo necesita un punto

inicial.

Formula Steffensen: 

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Aitken & Steffensen

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NEVILLE

Es un algoritmo utilizado para la interpolación polinómica que se derivó por el matemático Eric Harold Neville.

Se basa en la formula de Newton (Polinomio de interpolación) y la relación de recursión para las diferencias divididas, además es similar a Aitken.

A diferencia del método Lagrange, los polinomios generados a partir del método iterado de Neville son recurrentes, por ejemplo:

N= 4

P0,1,2 se constituye a partir de P0,1 y P1,2

P1,2,3 se constituye a partir de P1,2 y P2,3

P0,1,2,3 se constituye a partir de P0,1,2 y P1,2,3

A continuación se muestra un modelo de iteraciones del método Neville:

Formula:

P(m,n) =  ( (xn - x0) * (x1) - (xn - x1) * f(x0) ) / (x1 - x0)

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Neville

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Lagrange

Es un método que utiliza la optimización para trabajar con funciones de varias variables que nos interesa maximizar o minimizar.

Desventajas:

Si se aumenta el número de puntos a interpolar (Nodos) con la intención de mejorar la aproximación a la función; también lo hace el grado del polinomio interpolar, por lo que aumenta la dificultad del calculo.

Formulas:

Ln(x) = ( (x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-xk) ) / ( (xn-x1)(xn-x2)(xn-x3)(xn-xk) )

P(x) = Y0 * L0(x) + Y1 * L1(x) + Y2 * L2(x) + Ln * Ln(x)

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Lagrange

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Diferencias Divididas

Se trata de construir un polinomio de interpolación Pn de los datos (xk, yk) con K = 0, ..., n de una muestra sin tener que recurrir a resolver un sistema.
Lo escribiremos de la siguiente forma:

Pn(x) = Y0 + Y01(x-x0) + Y012(x-x0)(x-x1) + ..... + Y01..n(x-x0)(x-x1)(x-x2)(x-xn-1)

donde: 

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Diferencias Divididas