******************************************************************************************************************************************************************************************************
Bisección
Es un
método que sirve para calcular raíces aproximadas de funciones que son
difíciles de despejar.
PASO 1:
Verificar que f(a) * f(b) < 0
PASO 2:
Calcular el punto medio de la siguiente forma: m = (a+b) / 2
Paso 3:
Se evalúa f(m)
Si el resultado es igual a cero, m será la raíz buscada.
Sino, verificamos que f(m) tenga signo opuesto a f(a) o f(b) y se redefine el intervalo [a,b]
como [a,m] o [m,b].
Paso 4:
Se repiten los paso 2 y 3 con los nuevos valores de a y b.
VENTAJAS
Convergencia
segura, es decir se aproxima tanto como se quiera al valor límite en este caso el error actual.
DESVENTAJAS
El
método es lento, esto quiere decir que se necesita un número grande de
iteraciones para lograr un error pequeño.
Cuando
hay raíces múltiples este método no sería válido, ya que la función podría no
cambiar de signo en puntos situados a cualquier lado de sus raíces.
DESCARGAR ARCHIVO EXCEL
******************************************************************************************************************************************************************************************************
Newton - Rapson
El método de Newton fue descrito
por Isaac Newton en 1669.
Newton aplicaba el método solo en
polinomios, sin considerar aproximaciones sucesivas x(n)
Calculaba
una
secuencia de polinomios para llegar a la aproximación de la raíz x
El método es llamado Newton – Raphson
por el matemático Joseph Raphson
quien lo publico en 1690.
El método Newton-Rapson se puede representar gráficamente de la siguiente forma:
Donde se va calculando la imagen del punto Xn y la recta tangente que pasa por ese punto y se evalúa el punto donde corta el eje X, este será nuestro nuevo Xn.
CONSIDERACIONES:
1) F(a) * F(b) < 0
2)F'(x) y F''(x) deben ser no nulas y conservar el signo en todo el intervalo.
Formula:
p = p0 - [(p0) / f'(p0)]
******************************************************************************************************************************************************************************************************
Secante y Cuerda
El método de la SECANTE pretende eliminar el
problema de la derivada de la función, ya que existen funciones que describen fenómenos físicos en la vida real, cuya
derivada es muy compleja.
El método
secante no necesita un intervalo inicial en donde la función cumpla ciertas condiciones(como
que haya un cero
entre ese intervalo)
Este método se puede representar de forma gráfica de la siguiente forma:
El método de la secante utiliza la intersección de la recta que pasa por dos puntos iniciales (x0, x1) con el eje X, esta intersección será nuestra raíz estimada. Si la raíz calculada aún tiene mucho margen de error, se hace otra iteración con los valores (x1, raiz estimada).
Formula:
Pn = p1 - f(p1) * ((p1-p0) / f(p1) - f(p0))
El método de la cuerda es también conocido como "REGULA FALSI" que significa posición falsa, esto debido a que los egipcios utilizaban un método de resolución de ecuaciones que iniciaban con una aproximación "errada" y luego iba mejorando la aproximación por proporcionalidad.
Este método es similar al de la secante, consiste en construir la recta que pasa por dos puntos de la función que se obtiene de la ecuación f(x) = , con la diferencia que el método de la cuerda construye la recta que pasa por los extremos de los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)), donde [a,b] es un intervalo en el cual la función f(x) tiene una raíz.
Formula:
Pn = (an * f(bn) - bn * f(an)) / (f(bn) - f(an))
DESCARGAR ARCHIVOS EXCEL
******************************************************************************************************************************************************************************************************
Müller
Johann
Müller Regiomontano fue un astrónomo y matemático alemán.
Su
nombre real es Johann Müller Königsberg.
El
apodo "Regiomontano"
proviene de la traducción latina del nombre de la ciudad alemana
donde nació: Königsberg (Montaña
real o Montaña
Regia).
Fue verdaderamente un niño prodigio. Dio
muestras de un enorme talento desde muy temprana edad y una habilidad
sorprendente para las matemáticas.
A la edad de once años se matriculó en
la Universidad de Leipzig para estudiar dialéctica, posteriormente ingresó en la Universidad de Viena.
Fue tan veloz en su aprendizaje que al
acabar sus estudios en 1452, las normas de la Universidad le exigían alcanzar
la edad de 21 para obtener el título de licenciado.
Por esta razón tuvo que esperar hasta
alcanzar la edad requerida en 1457. (Esperó 5 años).
El método Müller consiste en obtener los
coeficientes de la parábola que pasa por tres puntos.
Dichos coeficientes se sustituyen en la
formula cuadrática para tener el valor
donde la parábola corta al eje x, es decir, la raíz estimada.
PASO 1:
Calcular los siguientes valores a partir de las entradas recibidas:
PASO 2:
Calcular los valores a, b y c, usando los valores que averiguamos con las formulas anteriores:
PASO 3:
Calcular el valor de la aproximación (x3):
PASO 4:
Calcular el error relativo porcentual:
Si el error aún es muy alto y necesitas realizar otra iteración lo nuevos valores serán de la siguiente forma:
******************************************************************************************************************************************************************************************************
No hay comentarios:
Publicar un comentario