Diferenciación e Integración

Diferenciación

Es una técnica de análisis numérico para calcular una aproximación  a la derivada de una función en un punto utilizando los valores y propiedades de la misma.

Se conoce también como derivación numérica.

Valores de entrada:

1) Valor de x con su respectiva imagen.

2) Valores adyacentes a x (necesarios para las formulas a aplicar, se calculan en relación al          valor de h o se brindan de antemano) junto a sus imágenes.

3)Valor de h, entre más pequeño es más exacto.

Salida:

Aproximación o valor verdadero de la  derivada a evaluar.

Las aproximaciones  que se pueden hacer para h > 0 son:

Hacia adelante:

Hacia atrás:

Centrada:

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Integración Numérica

La integración numérica se utiliza cuando f(x) es muy difícil o imposible de calcular de forma analítica.

Regla del Trapecio

El método del trapecio se usa para calcular aproximadamente el valor de una integral definida.

La regla se basa en aproximar la integral de f(x) por el de la función lineal que pasa por los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)) . La integral de esta es igual al área del trapecio bajo la gráfica de la función lineal.

A continuación se muestra una ilustración gráfica de la regla del trapecio:

Formula:

donde h se define de la siguiente forma (n es el número de intervalos):

Regla de Simpson

Simpson fue todavía más allá. En lugar de utilizar trapecios a partir de dos puntos mejoró la aproximación utilizando parábolas que pasen por tres puntos por los cuales pasa la función.

La regla de Simpson tiene varias versiones que veremos a continuación

Simpson 1/3: Se utiliza cuando la cantidad de x dadas es 3

Simpson 3/8: Se utiliza cuando la cantidad de x dadas es 4

Reglas Compuestas

Las reglas compuestas preteden descomponer los intervalos de una integral definida en varios subintervalos y aplicar la regla (trapecio o simpson) a cada uno de ellos y sumarlos.

Esto implica que los resultados sean más precisos, pero el coste operativo aumenta ya que se debe aplicar la formula no sólo a un intervalo, sino a todos los subintervalos obtenidos.

La forma de saber el tamaño de cada subintervalo es

donde n es el número de intervalos deseados.

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Reglas Compuestas